探讨|深层次理解几何概型的概念和求解

前言

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案例剖析

案例已知圆\(M：x^2+y^2=4\)，在圆\(M\)上随机取两个点\(A\)、\(B\)，使\(|AB|\leqslant 2\sqrt{3}\)的概率是【\(\quad\)】

【法1】[我的理解]：如图所示，在圆\(M\)上分别任意取两个点\(A、B\)，占满了圆上的任意两点，

则所有情形应有无穷多种，且是等可能的，因此所有的样本空间应该用圆的周长\(2\pi\cdot R=4\pi\)来度量，

令“\(|AB| \leq 2\sqrt{3}\)”为事件\(N\)，则事件\(N\)的所有结果应该是：任取的两个点\(A、B\)应该都落在劣弧\(\overset{\frown}{AB}\)上，

事件\(N\)的所有结果应该用劣弧\(\overset{\frown}{AB}\)的弧长来度量，由于劣弧\(\overset{\frown}{AB}\)对应的圆心角为\(120^{\circ}=\cfrac{2\pi}{3}\)，则弧长为\(\cfrac{4\pi}{3}\)，

所以按照长度型几何概型得，所求的概率为\(P(N)=\cfrac{\frac{4\pi}{3}}{4\pi}=\cfrac{1}{3}\)。故选\(B\)

[思考1]：也可以按照角度型几何概型得到\(P=\cfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\cfrac{1}{3}\)。

[思考2]：之所以可以用角度型也可以用长度型来理解和计算，是因为半径\(OA\)绕着点\(O\)旋转时的每一个角度都唯一对应圆周上的一个点，是一一对应的。

【法3】[有的资料给出的解法]：如图2所示，用先确定点\(A\)后确定点\(B\)的思路可知，

满足\(|AB|\leqslant 2\sqrt{3}\)的情形有劣弧 \(\overset{\frown}{AB}\)和劣弧 \(\overset{\frown}{AB'}\)，

所以满足的情形应该是优弧\(\overset{\frown}{BB'}\)，所以\(P=\cfrac{240^{\circ}}{360^{\circ}}=\cfrac{2}{3}\)。

这种解法的算理是有错误的，当点\(A、B\)在优弧\(\overset{\frown}{BB'}\)上任意取点时，是不满足条件\(|AB| \leq 2\sqrt{3}\)的。

解后反思：点\(A\)，\(B\)位置确定是没有关联的，

【法4】[有的资料给出的解法]：如图3所示，满足\(|AB| \leq 2\sqrt{3}\)的情形有劣弧 \(\overset{\frown}{AB}\)和劣弧\(\overset{\frown}{A'B'}\)，

所以满足的情形应该是两段之和，所以\(P=\cfrac{240^{\circ}}{360^{\circ}}=\cfrac{2}{3}\)。

这种解法也是有错误的，当点\(A、B\)分别在两个劣弧上任意取点时，是不满足条件\(|AB| \leq 2\sqrt{3}\)的。

解后反思：这种错误的起源和我们写函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调区间的错误是一样的。如我们写成单调减区间为\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)，那么我们用定义验证时，当自变量\(x_1， x_2\)同时取在区间\((-\infty，0)\)或区间\((0，+\infty)\)时，都满足单调递减的定义，但是若\(x_1\in (-\infty，0)\)且$x_2\in(0，+\infty) $时，验证是错误的。